Funciones de la Suma y Resta de Ángulos

Función - Angulo

 Funciones de la Suma y Resta de Ángulos 

• Seno(α+β) = seno(α) ∙ cos(β) + cos(α) ∙ seno(β)
• Seno(α-β) = seno(α) ∙ cos(β) - cos(α) ∙ seno(β)

• Coseno(α+β) = cos(α) ∙ cos(β) - seno(α) ∙ seno(β)
• Coseno(α-β) = cos(α) ∙ cos(β) + seno(α) ∙ seno(β)

∆ AOB

∆ COF

∆ COB

∆ BOC

Seno(α+β) = C̅F̅ =  C̅D̅ + D̅F̅  =  C̅D̅ + A̅B̅

Seno(α) = A̅B̅/O̅B̅   

                          O̅B̅∙sen(α) = A̅B̅ 

Coseno(α) = C̅D̅/C̅B̅

                               C̅B̅∙cos(α) = C̅D̅ 

Seno(β) = C̅B̅/O̅C̅ 

                          O̅C̅∙sen(β) = C̅B̅

Coseno(β) = O̅B̅/O̅C̅

                               O̅C̅∙cos(β) = O̅B̅

                          

Reemplazando:

A̅B̅ =  O̅C̅∙cos(β)∙sen(α)

C̅D̅ =  O̅C̅∙sen(β)∙cos(α)

Seno(α+β) = C̅D̅ + A̅B̅

O̅C̅∙cos(β)∙sen(α) + O̅C̅∙sen(β)∙cos(α)   *(O̅C̅ = 1 por el circulo trigonométrico)

Entonces: Seno(α+β) = sen(α)∙cos(β) + cos(α)∙sen(β)

Funciones del Angulo Inverso

Sen(-α) = -sen(α)

Cos(-α) = cos(α)

La Resta de dos Ángulos

Sen(α-β) = sen(α)∙cos(-β) + cos(α)∙sen(-β)

                      =  sen(α)∙cos(β) - cos(α)∙sen(β) 

Cos(α+β) = cos(α)∙cos(β) - sen(α)∙sen(β)  

   

Cos(α-β)  = cos(α)∙cos(-β) + seno(α)∙seno(-β) 

                       = cos(α)∙cos(β) - sen(α)∙sen(β)

La Suma y Resta de dos Ángulos en Tangente

Tan(α+β) = sen(α+β)/cos(α+β)

Tan(α+β)=(sen(α)∙cos(β)+cos(α)∙sen(β))/(cos(α)∙cos(β)-sen(α)∙sen(β))

Dividimos los dos miembros para cos(α)∙cos(β) y nos da:

Tan(α+β)=(sen(α)/cos(α)+sen(β)/cos(β))/(1-(sen(α)∙sen(β))/(cos(α)∙cos(β)))

que es igual a:

Tan(α+β) = (tan(α)+tan(β))/(1-tan(α)∙tan(β))

Tan(α-β) = (tan(α)-tan(β))/(1+tan(α)∙tan(β))