Identidades Trigonométricas

Función de Seno

Hallar el Desfase y el Período de las siguientes funciones

1. Sen(x) = 3sen(2x + π/3)+1
2. Sen(x) = 1/2sen(2x + 40°)
3. Sen(x) = senπ(4/3x - 1/2)
4. Sen(x) = -1/6senπ(8x + 3/2)-0.5

Un árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra un triangulo rectángulo, la parte superior forma un angulo de 35º con el piso y la distancia medida sobre el piso desde el tronco hasta la cúspide del árbol es de 5m. Hallar la altura que tenia el árbol.

Un árbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra un triangulo rectángulo, la parte superior forma un angulo de 35º con el piso y la distancia medida sobre el piso desde el tronco hasta la cúspide del árbol es de 5m. Hallar la altura que tenia el árbol.

Conversión de Grados a Radianes y Radianes a Grados

1. 140° = Radianes
2. 35° = Radianes
3. 1.9 rad = Grados
4. 4/3π rad = Grados
5. 1/5π rad = Grados
6. 30° = Radianes
7. 4.2 rad = Grados
8. 4/2π rad = Grados
9. 270° = Radianes
10. 110° = Radianes

Resolución de Triangulo Oblicuángulo

Resolver el Triangulo

Triangulo 1:

Lado a = 40

Lado b = ?

Lado c = ?

Angulo A = 60°

Angulo B = 45°

Angulo C = ?

Triangulo 2:

Lado a = ?

Lado b = 7.07

Lado c = ?

Angulo A = 30°

Angulo B = ?

Angulo C = 105°

Triangulo 3:

Lado a = 20

Lado b = ?

Lado c = ?

Angulo A = ?

Angulo B = 45°

Angulo C = 60°

Ejercicios de paso de radianes a grados

-150º a radianes

-75º a radianes

-140º a radianes

-4.2 radianes a grados

-6.28 radianes a grados

Ejercicios de triángulos rectángulos

- Un arbol ha sido roto por el viento de tal manera que sus dos partes forman con la tierra

un triangulo rectangulo, la parte superior forma un angulo de 35º con el piso y la distancia medida sobre el piso desde el tronco hasta la cúspide del arbol es de 5m. Hallar la altura que tenia el arbol.

-El lado de un pentagono regular es de 24cm. Hallar el lado R e el area.

-La base de un triangulo isósceles mide 24cm y el angulo de en el vertice es de 48º. Hallar los otros elementos y el área.

-La base de un triangulo isósceles mide 100m y su altura es de 35.01m. Resolver el triangulo.

-El lado de un pentágono regular es de 21.78cm Hallar la longitud de una de sus diagonales.

Funciones de la Suma y Resta de Ángulos

Función - Angulo

 Funciones de la Suma y Resta de Ángulos 

• Seno(α+β) = seno(α) ∙ cos(β) + cos(α) ∙ seno(β)
• Seno(α-β) = seno(α) ∙ cos(β) - cos(α) ∙ seno(β)

• Coseno(α+β) = cos(α) ∙ cos(β) - seno(α) ∙ seno(β)
• Coseno(α-β) = cos(α) ∙ cos(β) + seno(α) ∙ seno(β)

∆ AOB

∆ COF

∆ COB

∆ BOC

Seno(α+β) = C̅F̅ =  C̅D̅ + D̅F̅  =  C̅D̅ + A̅B̅

Seno(α) = A̅B̅/O̅B̅   

                          O̅B̅∙sen(α) = A̅B̅ 

Coseno(α) = C̅D̅/C̅B̅

                               C̅B̅∙cos(α) = C̅D̅ 

Seno(β) = C̅B̅/O̅C̅ 

                          O̅C̅∙sen(β) = C̅B̅

Coseno(β) = O̅B̅/O̅C̅

                               O̅C̅∙cos(β) = O̅B̅

                          

Reemplazando:

A̅B̅ =  O̅C̅∙cos(β)∙sen(α)

C̅D̅ =  O̅C̅∙sen(β)∙cos(α)

Seno(α+β) = C̅D̅ + A̅B̅

O̅C̅∙cos(β)∙sen(α) + O̅C̅∙sen(β)∙cos(α)   *(O̅C̅ = 1 por el circulo trigonométrico)

Entonces: Seno(α+β) = sen(α)∙cos(β) + cos(α)∙sen(β)

Funciones del Angulo Inverso

Sen(-α) = -sen(α)

Cos(-α) = cos(α)

La Resta de dos Ángulos

Sen(α-β) = sen(α)∙cos(-β) + cos(α)∙sen(-β)

                      =  sen(α)∙cos(β) - cos(α)∙sen(β) 

Cos(α+β) = cos(α)∙cos(β) - sen(α)∙sen(β)  

   

Cos(α-β)  = cos(α)∙cos(-β) + seno(α)∙seno(-β) 

                       = cos(α)∙cos(β) - sen(α)∙sen(β)

La Suma y Resta de dos Ángulos en Tangente

Tan(α+β) = sen(α+β)/cos(α+β)

Tan(α+β)=(sen(α)∙cos(β)+cos(α)∙sen(β))/(cos(α)∙cos(β)-sen(α)∙sen(β))

Dividimos los dos miembros para cos(α)∙cos(β) y nos da:

Tan(α+β)=(sen(α)/cos(α)+sen(β)/cos(β))/(1-(sen(α)∙sen(β))/(cos(α)∙cos(β)))

que es igual a:

Tan(α+β) = (tan(α)+tan(β))/(1-tan(α)∙tan(β))

Tan(α-β) = (tan(α)-tan(β))/(1+tan(α)∙tan(β))

Triángulos Oblicuángulos

Un triángulo es oblicuángulo si no es recto ninguno de sus ángulos. En la resolución de triángulos oblicuángulos vamos a utilizar los teoremas del seno y del coseno.

LEY DE SENOS

Ya hemos visto como resolver triángulos rectángulos ahora veremos todas las técnicas para resolver triángulos generales.

Este es un triángulo ABC el ángulo α se escribe en el vértice de A, el ángulo β se escribe en el vértice de B y el ángulo γ se escribe en el vértice de C. Los lados que están opuestos al los vértices ABC y los escribimos con una letra minúscula abc.

Este tipo de triángulos los podemos resolver utilizando la ley de senos o la ley de cosenos.

La fórmula para la ley de senos es:

LEY DE COSENOS

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

La ley de los cosenos establece que c² = a² + b² - 2ab cos C.

Nos permite calcular el tercer lado desconocido cuando se conocen dos lados y el ángulo.

Igualmente,

a² = b² + c² - 2bc cos A

b² = c² + a² - 2ca cos B

Hay cuatro casos de resolución de triángulos oblicuángulos:

1º. Conociendo unlado y dos ángulos adyacentes a él

2º. Conociendo dos lados y el ángulo comprendido

3º Conociendo dos lados y un ángulo opuesto

sen B > 1. No hay solución

sen B = 1 Triángulo rectángulo

sen B < 1. Una o dos soluciones

4º. Conociendo los tres lados