Trigonometría y Geometría: Identidades Trigonometricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\tan{x} = \frac {\operatorname{sen}{x}} {\cos{x}} \qquad \cot{x} = \frac{1} {\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\operatorname{sen}{x}}$

$\sec{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \csc{x}= \frac{1}{\operatorname{sen}{x}}$

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

$\tan^2\left(x\right)+1 = \sec^2\left(x\right)$

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

$\cot^2\left(x\right) + 1 = \csc^2\left(x\right)$

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la formula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

$\operatorname{sen}(x \pm y) = \operatorname{sen}(x) \cos(y) \pm \cos(x) \operatorname{sen}(y)$